Kontrol af numerisk PT-model for strømrende

I dette afsnit undersøges om den numeriske PT-model sat op for strømrenden regner korrekt i forhold til en analytisk løsning for en simpel spredningssituation. Succeskriteriet for sammenligningen er, at PT-modellen og den analytiske løsning skal give samme spredningsresultater til to forskellige tidspunkter. Dette eliminerer risikoen for et tilfældigt fit til ét bestemt tidspunkt.

---

Analytisk løsning

En analytisk løsning for en simpel 1-dimensionel spredningssituation efter en impuls-tilledning er givet ved formel 1[Larsen, årstal ukendt a].

(1)

hvor

c: Stofkoncentration. I dette tilfælde bruges antallet af partikler indenfor et bestemt længdeafsnit af renden som et udtryk for koncentration [Antal partikler/m]

x: Afstand fra tillednings-punkt [m]

t: Tidsrum efter tilledning af impuls [s]

m/A: Et udtryk for den tilledte stofmængde. Dette er en kalibreringsparameter, der bruges til at skalere den analytiske løsningskurve, så den kan fittes til målte eller modellerede data [Antal partikler]

D_x: Dispersionskoefficient i længderetningen [m²/s]

u: Middelhastighed i x-retningen [m/s]

---

Løsningsmetodernes forudsætninger

Forudsætningerne for brug af den analytiske løsning ses efterfølgende, sammenlignet med den fulde PT-model for strømrenden.

	Analytisk løsning	Fuld PT-model
Konvektion (dimensioner)	1-dimensionel (x-retning)	2-dimensionel (konvektion i x-retning og sedimentation i y-retning)
Konvektion (rumlig variation)	Middelværdi af u over hele tværsnittet	Diskrete værdier af u over tværsnittet. Fast sedimentationshastighed, vs
Dispersion (dimensioner)	1-dimensionel (x-retning)	3-dimensionel (D = Dx = Dy = Dz)
Dispersion (rumlig variation)	Middelværdi af Dx over hele tværsnittet	Diskrete værdier af D over tværsnittet

Tabel 1 Forudsætninger for hhv. analytisk løsning og fuld PT-model.

Justering af PT-model til sammenligning

Da forudsætningerne for den analytiske løsning og PT-modellen jf. Tabel 1 ikke er ens, er deres resultater ikke umiddelbart sammenlignelige. Derfor simplificeres PT-modellen i denne undersøgelse, så dens forudsætninger stemmer overens med den analytiske løsning.

Dette er ret simpelt at ændre i modelkoden, dog er der et enkelt problematisk punkt, nemlig sedimentationen i PT-modellen. Denne kan ikke umiddelbart kobles fra, da outputtet fra PT-modellen er den stedslige spredning ved forskellige sedimentationsdybder (hhv. 5 cm over bund og ved bund). Den analytiske løsningsmetode modellerer kun spredning i længderetningen. Denne spredning findes ved at udregne formel 1 ved sedimentationstiderne til de ønskede dybder. Dermed bliver spredningen beregnet analytisk sammenlignelig med spredningen i PT-modellen ved de pågældende dybder. En forudsætning for denne sammenligning er, at sedimentationstiden for alle partiklerne er den samme. Dette er overholdt, jf. den konstante sedimentationshastighed og ingen dispersion i y-retningen. Sedimentationstiden beregnes ved formel 2.

(2) t_s = v_s ∙ d_s

hvor

t_s: Sedimentationstid [s]

v_s: Sedimentationshastighed [m/s]

d_s: Sedimentationsdybde, regnet positiv fra overfladen og ned [m]

---

Model-sammenligning

PT-modellen simplificeres jf. ovenstående afsnit, og de to modeller kan derefter sammenlignes.

Sammenligningsgrundlag

Den anvendte hastighed u i begge modeller sættes lig middelværdien af hastighedsfeltet eksporteret fra CFX. Denne hastighed er = 0,29 m/s

Den anvendte dispersionskoefficient D_x i begge modeller sættes lig middelværdien af dispersionskoefficient-feltet eksporteret fra CFX. Denne dispersionskoefficient er = 1,95∙10^-5 m²/s. Denne dispersionskoefficient har vist sig ikke at give et realistisk billede af spredningen, men det er uden betydning i denne sammenligning. Det eneste der betyder noget er, at D_x er den samme i begge modeller.

Sedimentationstiderne til de to dybder beregnes til hhv. 5,4 s og 7,2 s.

PT-modellen køres med et partikelantal på 1000.

Resultater af sammenligning

Den simplificerede PT-model gennemkøres og den tilsvarende analytiske løsningskurve beregnes. Den tilledte masse m/A i formel 1 kalibreres ved at tilpasse volumenet under den analytiske løsningskurve med en normalfordelingskurve for PT-modellens spredningsmønster. Resultaterne for spredning til de to tidspunkter ses på Figur 1 og 2.

Figur 1. Spredning af partikler ved hhv. PT-modellen (blå histogram med sort punkteret normalfordeling) og den analytiske løsning (rød kurve) 5,4 s efter impuls-tilledning.

Figur 2. Spredning af partikler ved hhv. PT-modellen (blå histogram med sort punkteret normalfordeling) og den analytiske løsning (rød kurve) 7,2 s efter impuls-tilledning.

Af Figur 1 og 2 ses, at den analytiske løsning og normalfordelingskurven for PT-modellens resultater er sammenfaldende til begge de undersøgte tidspunkter. Hermed er det sandsynliggjort, at PT-modellen regner korrekt under de simple forudsætninger, der er gældende i denne undersøgelse. Dermed styrkes også troen på, at den fulde PT-model med variable u og D samt 3-dimensionel dispersion regner korrekt (under antagelse af korrekte input-parametre).