Formål

Formålet med målingerne i strømrenden er at kunne beskrive selve strømningen og de fysiske egenskaber der påvirker denne. Målte og beregnede parametre og størrelser anvendes senere i en opstillet CFD-model samt i en partikelspredningsmodel; enten som inputparameter eller som sammenligningsgrundlag. Efterfølgende vil der blive gjort rede for målemetode og kalibrering af måleudstyr, herefter for målte og beregnede størrelser.

§ Middelhastighed

§ Bundforskydningsspænding

§ Fluktuationer

§ Turbulent kinetisk energi i strømningen

§ Total kinetisk energi i strømningen

§ Kinematisk hvirvelviskositet

§ Dissipation

---

Metode

Hastighedsmålingerne foretages vha. af Laser Doppler Anemometer (LDA) af mærket DANTEC. Princippet og teorien for LDA’en er beskrevet på DANTEC’s hjemmeside. Her redegøres der kort for princippet af udstyret:

Figur 1 Principskitse af måleudstyr.

Der udsendes lys med en fast bølgelængde fra laseren. Lyset splittes i to stråler med forskudt frekvens i bragcellen. De to stråler udsendes i mediet med en vinkel, således de to stråler rammer hinanden. I kontaktzonen, hvor de to stråler mødes, opstår et interferensgitter. Når partikler passerer dette gitter, reflekteres lys. Det reflekterede lys opfanges og sendes til en photo detector. Herefter omsættes det reflekterede lys til en frekvens og efterfølgende til en hastighed.

Kalibrering af laser

I sig selv behøver laseren ingen kalibrering, dog skal fokallængden, som er bestemmende for vinklen θ mellem de to laserstråler angives, før beregningen af hastigheden kan finde sted. Den anvendte linse har fokallængden 160 mm i luft og en beam separation på 38 mm. Det er forsøgt, ud fra geometriske betragtninger, at opstille et generelt udtryk for justeringen af fokallængden, når laserstrålerne passerer gennem luft, glas og vand, med brydning mellem medierne. Det er dog ikke lykkedes at opstille et entydigt udtryk for, hvorledes fokallængden skal justeres afhængigt af medierne. I stedet er fokallængden blot indkalibreret til den aktuelle forsøgsopstilling ved sammenligning med hastigheder målt med propel af typen Ott-Flügel type C2 ”10.150” no. 36.830. Den kalibrerede fokallængde er bestemt til 202,8 mm i forsøgsopstillingen

Figur 2 Kalibrering af laser, under antagelse af at målte hastigheder med propel er korrekte.

Figur 3 Måling af hastighed med laser.

Figur 4 Terminal til dataopsamling.

---

Målinger

Der er udført tre forsøg med strømningsmålinger over ru bund.

1. forsøg blev foretaget med lav strømningshastighed, 0,13 ‰ vandspejlshældning og med et 20 cm højt skarpkantet ventileret overløb.

2. forsøg blev foretaget med lav strømningshastighed, 0,19 ‰ vandspejlshældning og med et 20 cm højt skarpkantet ventileret overløb.

3. forsøg blev foretaget med højere strømningshastighed, 0,38 ‰ vandspejlshældning og med et 12 cm højt skarpkantet ventileret overløb.

Output fra målingerne opsamles på computeren vist på figur 3. Det umiddelbart tilgængelige output er:

· Middelhastighed [m/s]

· Tidsligt midlet fluktuation [m/s]

· Turbulensgrad udtrykt ved fluktuation i forhold til middelhastighed [%]

Middelhastighed

Middelhastighedens variation i dybden (y) er for alle tre forsøg målt i samme afstand fra indløbet (ca. 10 m). Variationen af hastigheden over dybden i de tre forsøg ses af figur 5a og 5b.

Figur 5a Målte middelhastigheders variation over dybden. Dokumentation

Figur 5b Målte middelhastigheds variation over dybden (logaritmisk afbildning)

Det kan ikke umiddelbart vurderes ud fra figur 5a og 5b, om hastighedsvariationen over dybden antager logaritmiske profiler. Umiddelbart ser det ud som, at dette er tilfældet i den nederste halvdel af profilerne, men det var ikke forventet, at hastigheden aftager igen mod vandoverfladen. Grunden hertil kan primært skyldes to faktorer:

1. At pumpen i indløbet ikke skaber en ensformig fordeling af vand til renden – og dermed forårsager lavere hastigheder og evt. hvirvler ved overfladen.
2. At forskydningsspændingen ikke er nul ved overfladen, da luften er stillestående og vandet strømmende.

Da der ikke er foretaget hastighedsmålinger i andre afstande fra indløbet, kan det ikke konkluderes, hvorvidt den logaritmiske hastighedsvariation er fuldt udviklet.

På baggrund af de målte hastigheder kan strømningens karakter bestemmes til at være turbulent (Re > 750). Reynold’s tallet for de tre forsøg er beregnet til:

1. forsøg: Re ≈ 11.500
2. forsøg: Re ≈ 13.000
3. forsøg: Re ≈ 26.000

---

Bestemmelse af bundforskydningsspænding

Bundforskydningsspændingen i de tre forsøg bestemmes efterfølgende ud fra tre metoder.

1. metode: Kraftbalance
2. metode: Fitning af logaritmisk hastighedsprofil
3. metode: Beregning ud fra indirekte målinger af Reynold’s spændinger

1. metode, kraftbalance:

Første metode til bestemmelse af bundforskydningsspændingen beror på impulsligningen. Ved betragtning af kontrolvolumenet på figur 6 under stationær og ensformig strømning, skal forskydningskræfter og tyngdekræfter være i ligevægt således, at der ved bunden gælder: [Chanson, 1999]

(1)

hvor

τ₀: Bundforskydningsspænding [Pa]

P: Våd perimeter [m]

x: Længde af kontrolvolumen [m]

ρ: Vands densitet [kg/m³]

A: Gennemstrømmet areal [m²]

θ: Bundhældning [°]

Figur 6 Kraftbalance til bestemmelse af bundforskydningsspænding.

Ved indførelse af den hydrauliske radius og substitution af sin β med energiliniegradienten I opnås følgende udtryk for bundforskydningsspændingen:

(2)

Ud fra formel 2 er bundforskydningsspændingen i de tre forsøg bestemt til følgende:

	1. forsøg	2. forsøg	3. forsøg
τ0	0,11 Pa	0,16 Pa	0,32 Pa

Tabel 1 Bundforskydningsspænding ud fra metode 1. Dokumentation

Usikkerheden i forbindelse med bestemmelsen af bundforskydningsspændingen ved denne metode, vil blive behandlet samlet med usikkerhederne i forbindelse med metode 2 og 3.

2. metode, fitning af logaritmisk hastighedsprofil:

Bundforskydningsspændingen er relateret til friktionshastigheden U_F således at:

(3)

Med resultatet af Nikuradse’s forsøg omhandlende hastighedsvariation i ru rør, kan variationen af hastigheden over en ru bund beskrives som:

(4)

hvor

U: Hastigheden til højden y over y = 0 [m/s]

k: Ruhed af bund [m]

Beliggenheden af y = 0 bestemmes ved at afbilde de målte hastigheder i et U-ln(y) diagram. Fastlæggelsen af y = 0 sker ved fitning af de målte højder indtil den bedste rette linie opnås. Grundet den forholdsvis smalle rende, kan det ikke forsvares at medtage hele hastighedsprofilet i denne fitning. Der er valgt at medtage målte hastigheder op til ca. 3 cm over bunden, da profilets udformning her kan henføres til ruheden af bunden samt bundforskydningsspændingen. Højere oppe i vandsøjlen har siderne i renden forholdsvis større indflydelse på profilet.

Nedenstående figur viser et eksempel på fastlæggelsen af y = 0. Eksemplet er taget fra 3. forsøg.

Figur 7 Fastlæggelse af y =0. Dokumentation

Den bedste rette linie opnås ved en korrektion af målte y-værdier med ca. -1,6 mm.

Ud fra udtrykket for den bedste rette linie, kan friktionshastigheden og ruheden bestemmes ud fra to ligninger med to ubekendte:

=> k = 2,55 mm

=> U_F = 0,018 m/s

På samme måde beregnes U_F og k for de to andre forsøg. Hastighedsmålinger og fittet analytisk løsning for de tre forsøg ses af figur 8.

Figur 8 Målt og analytisk middelhastighed. Dokumentation

Resultaterne fra de tre forsøg ses i tabel 2.

	1. forsøg	2. forsøg	3. forsøg
Ruhed (k)	0,5 mm	1,0 mm	2,6 mm
Friktionshastighed (UF)	0,0058 m/s	0,0075 m/s	0,0181 m/s
RMSE på fit	0,0001 m/s	0,0018 m/s	0,0017 m/s
Bundforskydningsspænding (τ0)	0,03 Pa	0,05 Pa	0,33 Pa

Tabel 2 Resultater fra metode 2. Dokumentation

Det ses af tabel 2, at ruheden ikke er ens i de tre forsøg. For forsøg 1 og 2 er ruheden væsentlig mindre end i forsøg 3. Det vil vise sig senere hen, at denne tendens også gør sig gældende for fluktuationerne. Grunden til dette vil ikke blive søgt løst, men blot konstateres, at forholdene med lave hastigheder og deraf lave Reynold’s tal muligvis bevirker, at der regnes i et overgangsområde med ikke fuldtudviklet turbulent strømning.

3. metode, beregning ud fra indirekte målinger af Reynold’s spændinger:

De totale forskydningsspændinger i turbulente strømninger består af summen af de viskose spændinger og de turbulente spændinger (de såkaldte Reynold’s spændinger)

(5)

Det viskose væglag δ kan beregnes som [Brorsen, 2001]. Ved anvendelse af en kinematisk viskositet ν på 1·10^-6 m²/s, udstrækker det viskose væglag sig henholdsvis 2,0 mm, 1,6 mm og 0,6 mm over bunden for 1., 2. og 3. forsøg.

De turbulente forskydningsspændingerne kan indirekte måles, ved at måle hastighedsfluktuationerne i en 45 graders vinkel op og ned i forhold til hovedretningen, jf. figur 9.

Figur 9 Retningsangivelse.

Spændingerne kan beregnes som:

(6)

hvor

kan beregnes som: [Brorsen, 1978]

Som mål for standardafvigelsen σ på fluktuationerne i A og B retningen er RMS-værdien fra målingerne anvendt.

De viskose forskydningsspændinger som skyldes molekylær diffusion udregnes vha. formel 7 og adderes de beregnede turbulente for at beregne de totale forskydningsspændinger.

(7) [Brorsen, 2001]

Den viskose forskydningsspænding udgør ca.14 % af de turbulente, i målingen tættest på bunden i 1. forsøg, mens procentsatsen for henholdsvis 2. og 3. forsøg er 4 % og 3 % i nederste målepunkt.

Det har ikke været muligt at indlægge en ret linie på de beregnede totale forskydningsspændinger i samme område som under metode 2. Der er derfor antaget, at forskydningsspændingen ved vandoverfladen er nul og medtaget denne information i bestemmelsen af et lineært udtryk for forskydningsspændingerne.

Figur 10 Reynold’s spændinger og lineære udtryk herfor. Dokumentation

Ud fra de lineære udtryk angivet på figur 10, kan bundforskydningsspændingen bestemmes.

	1. forsøg	2. forsøg	3. forsøg
τ0	0,05 Pa	0,10 Pa	0,38 Pa

Tabel 3 Bundforskydningsspænding ud fra metode 3. Dokumentation

Sammenligning af resultater

I figur 11 er forskydningsspændingerne fundet ved de tre metoder vist.

Figur 11 Beregnede bundforskydningsspændinger. Dokumentation

1. forsøg: Det ses, at beregningen af τ₀ ud fra kraftbalancen giver en ca. tre gange så stor spænding som ved beregningen ud fra de to andre metoder.

2. forsøg: Igen ses, at τ₀ ud fra kraftbalancen giver en ca. tre gange så stor spænding, som bestemmelsen ud fra friktionshastigheden og ca. 60 % større end bestemmelsen ud fra målinger af Reynold’s spændingerne.

3. forsøg: For tredje forsøg ligger spændingerne fundet på baggrund af de tre metoder forholdsvist tæt, med den største afvigelse på ca. 18 % mellem τ₀ bestemt ud fra kraftbalancen og τ₀ bestemt ud fra måling af Reynold’s spændingerne.

Usikkerheder i forbindelse med bestemmelsen af bundforskydningsspænding

For at vurdere usikkerheden i forbindelse med bestemmelsen af bundforskydningsspændingen er der for hver metode udvalgt en enkelt parameter og fastsat en usikkerhed på denne og herefter genberegnet bundforskydningsspændingen.

For kraftbalancen (metode 1) ligger den største usikkerhed i fastlæggelsen af hældningen på vandspejlet. Det er vurderet, at usikkerheden er ± 1 mm pr. 8 m.

For bestemmelsen ud fra friktionshastigheden (metode 2) er usikkerheden svære at definere. Den primære usikkerhed ligger i selve målingerne - denne er dog svær at vurdere. Der er her valgt at antage, at målingerne er korrekte, og indfører usikkerheden på bestemmelsen af det ”rigtige” nulpunkt, jf. afsnittet om dette. Usikkerheden på dette er fastsat til ± 1 mm. Usikkerheden på bundforskydningsspændingen ud fra de indirekte målinger af Reynold’s spændingerne (metode 3) ligger i selve målingerne, da disse alene anvendes sammen med ikke variable fysiske konstanter. Ved at undersøge de enkelte tidsserier, der ligger til grund for bestemmelsen af standardafvigelser på fluktuationerne og dermed på Reynold’s spændingerne, kan eventuelle usikkerheder belyses. Figur 12 viser en sådan tidsserie, udtaget fra 3. forsøg i ”B” retningen 1,9 cm over bunden.

Figur 12 Eksempel på tidsserie for en enkelt måling.

Ud fra figur 12, kan der ikke konkluderes om der er tilfælde af fejlmålinger. Der må af den grund antages, at målingerne afspejler de reelle forhold. Usikkerheden kan derudover ligge i antagelserne om ensformig og stationær strømning. Ud fra figur 12, kunne det tyde på, at de målte hastigheder ikke kun er påvirket af fluktuationer skabt af strømningen i renden, men muligvis også af andre ydre faktorer, f.eks. indløbspumpen. Hele standardafvigelsen på fluktuationerne kan muligvis ikke henføres til strømningen i renden alene - men også til eksterne skabte svingninger/bølger og af den grund kan de målte standardafvigelser muligvis også være for store. En undersøgelse af denne teori vil kræve en fourieranalyse af målte tidsserier. En sådan analyse ville kunne belyse evt. periodiske elementer, som herefter kunne fratrækkes i den videre bearbejdning af tidsserierne. Fourieranalysen er pt ikke foretaget og af den grund anses målingerne valide i de efterfølgende betragtninger.

På figur 13 er usikkerheden på bestemmelsen af bundforskydningsspændingen for hvert af forsøgene optegnet for 1. og 2. metode.

Figur 13 Usikkerhed på bestemmelsen af bundforskydningsspænding. Errorbars

angiver intervalområdet for beregningen af spændingen. Dokumentation

Det ses, at en forholdsvis lille målefejl under f.eks. bestemmelsen af vandspejlshældning kan betyde en ændring af bundforskydningsspændingen med ca. 0,1 Pa. Den største procentvise usikkerhed for denne metode ligger hermed i de to første forsøg. Usikkerheden i forbindelse med fastsættelsen af y = 0 kan påvirke beregningen af bundforskydningsspændingen med ca. 30 %, for alle tre forsøg. Der er under beregningen af denne usikkerhed, fundet at usikkerheden i fastsættelsen af y = 0 påvirker bestemmelsen af ruheden meget. F.eks. kan ruheden bestemt under første forsøg kan således variere med ca. +250 % og -80 %. Generelt må det, under forudsætning af at lasermålingerne er korrekte, vurderes, at metode 2 giver det mest nøjagtige bud på bundforskydningsspændingen, da man i denne metode har mulighed for at mindske usikkerheden på relativt usikre højdemålinger under fitningen af målte profiler til analytiske.

---

Energibetragtninger

Opretholdelsen af turbulens i en ensformig stationær strømning, sker ved overførsel af energi fra middelstrømningen. Den turbulente kinetiske energi i strømningen kan bestemmes ved kendskab til standardafvigelserne på fluktuationerne.

Da fluktuationerne kun er målt i x og y retningen, er fluktuationerne w bestemt ud fra følgende antagelse: [Hughes & Brighton, 1967]

(8)

hvor

w: Fluktuationen i z-aksens retning (normal på væggene)

u: Fluktuationen i x-aksens retning (den primære strømretning)

v: Fluktuationen i y-aksens retning (normal på bunden)

På figur 14 er den målte og beregnede standardafvigelse på fluktuationerne vist. Der er under 2. forsøg ikke blevet målt fluktuationer normal på bunden, og der er af den grund ikke medtaget resultatet herfra.

Figur 14 Målte og beregnede standardafvigelser på fluktuationer for 1. og 3. forsøg. Dokumentation

Til vurdering af de målte fluktuationer, sammenlignes de i figur 14 viste fluktuationer med de i figur 15 viste. Figur 15 viser fluktuationerne i en dimensionsløs afbildning.

Figur 15 Dimensionsløs afbildning af fluktuationer i 3 retninger

[Hughes & Brighton, 1967]

Sammenligningen kræver jf. figur 15 kendskab til størrelsen på turbulente grænselag δ. Grænselaget kan bestemmes ved:

(9)

hvor

v₀: Hastighed i x-retningen, hvor

Fluktuationerne u, v og w på figur 15 er alle normeret i forhold til v₀ jf. originalkilden til figuren. [Klebanoff, 1953]

Figur 16 og 17 viser de målte fluktuationer for 1. og 3. forsøg samt Klebanoff’s resultater.

Figur 16 Dimensionsløs afbildning af fluktuationer i 3 retninger for 1. forsøg. Dokumentation

Figur 17 Dimensionsløs afbildning af fluktuationer i 3 retninger for 3. forsøg. Dokumentation

Af figur 16 ses, at de beregnede turbulens hastigheder er ca. halv så store som Klebanoff’s resultater i alle tre retninger for 1. måling. Igen, som for beregningen af ruheden under 1. forsøg, konstateres der at forholdene med lave hastigheder og deraf lave Reynold’s tal muligvis bevirker, at der muligvis regnes i et overgangsområde med ikke fuldtudviklet turbulent strømning og at resultaterne ikke umiddelbart kan sammenlignes. For forsøg 3, hvor Reynold’s tal var ca. 26.000 ses det af figur 17, at de beregnede turbulens hastigheder stemmer godt overens med Klebanoff’s resultater i de nederste seks målepunkter. Denne sammenligning viser, at de målte fluktuationer ikke viser tendens til at være for store, som beskrevet før.

Den turbulent kinetiske energi pr. masseenhed grundet fluktuationer i x, y, og z-retningen, k, beregnes ud fra formel 10. [Brorsen, 2001]

(10) [m²/s²]

Resultatet for forsøgene ses af figur 18.

Figur 18 Beregnet turbulent kinetisk energi pr. masseenhed. Dokumentation

Den totale kinetiske energi pr. masseenhed bestemmes som summen af den kinetiske energi i middelstrømmen U_x og den turbulente kinetiske energi. Den tidslige glattede middelstrømning i y- og z-retningen forudsættes hermed for værende 0.

(11) [m²/s²]

Resultatet for forsøgene ses af figur 19.

Figur 19 Beregnet kinetisk energi pr. masseenhed. Dokumentation

Hvirvelviskositet

Til beskrivelse af fluktuationerne i gængs turbulensteori indføres de ækvivalente turbulente forskydningsspændinger. Udtrykket for disse minder om formel 7 til beregning af de ækvivalente forskydningsspændinger τ_viskos til beskrivelse af de brownske bevægelser. Den kinematiske viskositet i formel 7, substitueres med den kinematiske hvirvelviskositet således, at formel 7 i turbulente strømning antager følgende:

(12)

Den kinematiske hvirvelviskositet bestemmes herefter ud fra formel 13:

(13)

De turbulente forskydningsspændinger, i form af Reynold’s spændingerne, og hastighedens variation over dybden er som før beskrevet målt. Hvirvelviskositeten kan således beregnes. På figur 20 er de beregnede hvirvelviskositeter for 1. og 3. forsøg vist som henholdsvis blå og røde firkanter.

Figur 20 Beregnet kinematisk hvirvelviskositets variation over dybden. Dokumentation

Som det ses af figur 20, ses der ikke umiddelbart nogen tendens i størrelsen af hvirvelviskositeten. Hvirvelviskositeten er således også søgt løst ud fra:

1. Teoretiske hastighedsgradienter bestemt ud fra fitning til af hastigheder til målte hastigheder jf. figur 8.
2. En lineær variation af forskydningsspænding ( ), hvor bundforskydningsspænding er bestemt ud fra friktionshastigheden jf. formel 3.

Her ses tværtimod, en klar dannelse af en parabel for begge forsøg vist som de turkise og gule firkanter på figur 20. Usikkerheden i forbindelse med anvendelse af både målte hastighedsgradienter og målte Reynold’s spændinger må af den grund anses som en noget usikker metode.

Dissipation

Dissipation er overgangen fra kinetisk energi til varme i en væskestrøm. I turbulente strømninger sker dette primært ved, at store hvirvler overfører turbulent kinetisk energi til mindre hvirvler. I de mindste hvirvler omsættes energien til varme pga. viskositeten. Dissipationen ε kan beregnes efter formel 14: [Versteeg & Malalasekera, 1995]

(14)

hvor

μ_T: Dynamisk hvirvelviskositet (Eddy viskositet) [ ]

C_μ: Konstant ≈ 0,09 [-]

På figur 21 er den beregnede dissipation vist. Da hvirvelviskositeten indgår i beregningen af dissipationen, er der igen medtaget to sæt resultater. Dissipationen beregnet på baggrund af en hvirvelviskositet ud fra Reynold’s spændinger er angivet med blå og røde firkanter og dissipationen beregnet på baggrund af en hvirvelviskositet ud fra punkt 1 og 2 i ovenstående afsnit er angivet med turkise og gule prikker.

Figur 21 Dissipationens variation over dybden. Dokumentation

Med ønske om at modellere strømningen målt under forsøg 3 opstilles en CFD model efterfølgende.