Hastighedsprofiler og forskydningsspænding
Formål
Formålet med de gennemførte forsøg er at anvende og sammenligne 3 metoder til bestemmelse af bundforskydningsspændingen i strømningsrenden. Desuden er formålet, at bestemme en værdi for den ækvivalente sandruhed i strømningsrenden for anvendelse i den senere modellering af de målte hastighedsprofiler. På Figur 1 ses en skitse af strømningsrenden.
Figur
1
Skitse af strømningsrenden.
Udførelse
Der er målt hastighedsprofiler ved 3 forskellige strømningshastigheder. Profilerne er målt 7 cm fra den ene væg i strømningsrenden. Hastighedsprofilerne er anvendt til bestemmelse af bundforskydningsspændingen i strømningsrenden.
Til bestemmelsen af bundforskydningsspændingen er der anvendt 3 forskellige metoder. I det følgende er udførelsen af disse 3 metoder gennemgået. Teorien bag metoderne er gennemgået i det efterfølgende afsnit.
Kraftbalancemetoden
Med kraftbalancen er forskydningsspændingen bestemt ud fra energiliniens gradient og den hydrauliske diameter. Energiliniens gradient er bestemt ved måling af vandspejlshøjden i to punkter med en afstand på cirka 12 m. Den hydrauliske diameter er bestemt ved måling af vandspejlshøjden og bredden af renden.
Friktionshastighedsmetoden
Ved anvendelse af denne metode er forskydningsspændingen bestemt af friktionshastigheden, som er beregnet af Nikuradus’ ligning for strømning over ru flade. For at beregne friktionshastigheden er der, ved hjælp af en laser gennemført målinger af hastighedsprofilet. Måling med laseren ses på Figur 2.
Figur 2 Måling af hastighedsprofil med laser.
Inden laseren er anvendt til måling af hastigheden i renden, er fokal længden indstillet. Denne indstilling er nødvendig, da der måles gennem 3 medier: luft, glas og vand. En egentlig formel til bestemmelsen af fokal længden har ikke været i hænde, derfor er fokal længden bestemt ved kalibrering.
Kalibreringen er foregået ved, at hastigheden i et punkt er bestemt med en propel, som det ses på Figur 2. Hastigheden er målt i det samme punkt med laseren, hvorefter fokal længden er kalibreret på plads, så hastigheden målt med propellen og laseren stemmer overens.
Ved måling med laseren er der målt i 30 sekunders intervaller. Det betyder, at der til hver hastighedsbestemmelse er foretaget 10.000 enkelte målinger, hvoraf det endelige resultat er middelværdien af disse målinger.
Udover hastigheden er RMS-værdien også angivet. RMS-værdien er beregnet som spredningen af de 10.000 enkelte målinger.
For yderligere information om laseren og teorien bag måling
med den, tryk
Fluktuationsmetoden
Ved denne metode er forskydningsspændingerne bestemt ud fra
Reynolds’ spændingerne. Disse er bestemt af 2 RMS-værdier beregnet ved hjælp
af laseren, som er drejet henholdsvis 45 og 135 grader i forhold til strømningsretningen.
Teori
I det følgende er teorien bag de 3 metoder gennemgået. Resultaterne af de 3 metoder er gennemgået i det efterfølgende afsnit.
Kraftbalancemetoden
Med metoden er forskydningsspændingen bestemt ud fra kraftbalancen. Strømningen i renden er stationær og ensformig, hvormed summen af kræfter i projektion på strømningsretningen er lig 0. I nedenstående ligning er forskydningsspændingen sat lig tyngdekraftens påvirkning [Petersen, 1996].
(1)
hvor
τ er forskydningsspændingen [N/m2]
γ er den specifikke tyngde [N/m3]
D er hydraulisk diameter [m]
I er energiliniens gradient [m/m]
Forskydningsspændingen, som er beregnet med
kraftbalancemetoden, er en sum af glasvæggenes og bundens forskydningsspænding.
Friktionshastighedsmetoden
Ved anvendelse af denne metode er forskydningsspændingen bestemt af friktionshastigheden ud fra nedenstående ligning [Petersen, 1996].
(2)
hvor
τ er forskydningsspændingen [N/m2]
ρ er densiteten for vand [ kg/m3]
UF er friktionshastigheden [m/s]
For at bestemme friktionshastigheden er Nikuradus’ ligning for beskrivelse af hastighedsprofilet ved strømning over ru flade anvendt, se nedenstående [Petersen, 1996].
(3)
hvor
U er hastigheden [m/s]
k er den ækvivalente ruhed [m]
y er højden fra nulpunktet [m]
Nulpunktet for højden, hvori målingerne med laseren er foretaget, er sat til undersiden sandkornene. Nulpunktet for Nikuradus’ ligning er i dybden k/33 under oversiden af sandkornene. Det har derfor været nødvendigt, at korrigere målehøjderne. Korrigeringen er foretaget med nedenstående ligning.
(4)
hvor
h er målehøjden [m]
I ligningen er friktionshastigheden og den ækvivalente ruhed ukendte faktorer. Disse faktorer er bestemt ved at anvende Excel’s ”Problemløser” til at finde minimum RMSE-værdien mellem de målte og beregnede hastigheder i forhold til højden.
Nikuradus’ ligning for beskrivelse af hastighedsprofilet ved strømning over ru flade er kun gældende, når Karmans tal er større end 10 og i højden over det viskose væglag.
For at undersøge om ligningen er anvendelig til beskrivelse af de aktuelle hastighedsprofiler, er Karmans tal beregnet af nedenstående ligning [Petersen, 1996].
(5)
hvor
Ka er Karmans tal [-]
g er tyngdeaccelerationen [m/s2]
ν er den kinematiske viskositet [m2/s]
For at undersøge om målingerne er foretaget over det viskose væglag og dermed er anvendelige i bestemmelsen af den ækvivalente sandruhed og friktionshastigheden, er tykkelsen på det viskose væglag beregnet af ligning 6 [Brorsen, 2003].
(6)
hvor
δ er tykkelsen på det viskose væglag [m]
Fluktuationsmetoden
Med metoden er forskydningsspændingerne sat lig Reynolds’ spændingerne. Udtrykket for Reynolds’ spændingerne er angivet i ligning 7 [Brorsen, 2003].
(7)
hvor
er middelværdien af
produktet af fluktuationer i x og z retningen [m2/s2]
Bestemmelsen af middelværdien af produktet af fluktuationer i x og z retningen er gennemgået i det følgende.
Ved at dreje laseren henholdsvis 45 og 135 grader i forhold til strømningsretningen x er hastigheden og spredningen målt i retningerne skitseret på Figur 3.
Figur 3 Skitse af måleretninger.
RMS-værdierne og spredningen er dermed bestemt af hastighedsmålingerne i henholdsvis (z+x)-retningen og (z-x)-retningen som nedenstående.
(8)
(9)
hvor
W+U er hastighed i (z+x)-retningen [m/s]
w+u er fluktuation i (z+x)-retningen [m/s]
W-U er hastighed i (z-x)-retningen [m/s]
w-u er fluktuation i (z-x)-retningen [m/s]
Middelværdien af produktet af fluktuationer i x og z retningen er herefter bestemt som nedenstående [ Brorsen, 1978].
=>
(10)
[ Tilbage] [Til toppen]
Resultater
I dette afsnit er resultaterne af beregningerne af forskydningsspændingerne samt delresultater i beregningerne med de 3 metoder angivet.
På Figur 4 ses de 3 hastighedsprofiler, som er målt i de 3 forsøg.
Figur 4 Hastighedsprofiler for de 3 forsøg.
Kraftbalancemetoden
Forskydningsspændingen er bestemt ved gennemførelse af 3 forsøg med forskellig hastighed, hvoraf resultaterne for middelhastigheden, den hydrauliske diameter, energiliniens gradient og forskydningsspændingen er angivet i Tabel 1.
|
|
Forsøg 1 |
Forsøg 2 |
Forsøg 3 |
|
|
0,178 |
0,208 |
0,201 |
|
D [m] |
0,369 |
0,372 |
0,372 |
|
I [m/m] |
0,00058 |
0,00071 |
0,00052 |
|
Τ [N/m2] |
0,53 |
0,65 |
0,47 |
[m/s]Tabel 1 Forskydningsspændinger bestemt med metode 1.
Det ses af Tabel 1, at den hydrauliske diameter har været stort set uændret i de 3 forsøg. Da den specifikke tyngde er konstant, afhænger variationerne i forskydningsspændingerne af variationer i energiliniens gradient.
Som tidligere beskrevet er forskydningsspændingerne en middelværdi af glasvæggenes og bundens forskydningsspændinger. Det vil sige, at bundforskydningsspændingen må forventes at være en del større end de beregnede værdier.
Friktionshastighedsmetoden
Som tidligere beskrevet er konstanterne den ækvivalente ruhed og friktionshastigheden beregnet med Excel’s ”Problemløser”. Konstanterne er bestemt gennem 3 forsøg med forskellig hastighed. Resultaterne af de 3 forsøg samt middelhastighederne ses af Tabel 2.
|
|
Forsøg 1 |
Forsøg 2 |
Forsøg 3 |
|
|
0,178 |
0,208 |
0,201 |
|
k [m] |
0,0049 |
0,0050 |
0,0051 |
|
UF[m/s] |
0,013 |
0,016 |
0,013 |
Tabel 2 Faktorer til ligning 3.
Som det ses af Tabel 2, varierer faktorerne ikke meget fra forsøg til forsøg. Korrektheden af værdierne for friktionshastigheden er umiddelbart svære at vurdere, men en typisk værdi for friktionshastighed er 7 % af middelhastigheden [ Petersen, 1996]. Det vil sige, at de beregnede friktionshastigheder er sandsynlige, da de svarer til henholdsvis 7%, 8% og 6% af middelhastigheden.
Herudover er det vurderet, at den ækvivalent ruhed reelt er på 4-5 mm. Denne vurdering er foretaget ud fra 10 målinger gennemført med en skydelære. Dermed stemmer den beregnede og den reelle værdi fint overens.
For at undersøge om Nikuradus’ ligning for strømning over ru flade kan anvendes i de 3 forsøg, er Karmans tal for de 3 forsøg beregnet. Resultaterne heraf ses af Tabel 3.
|
|
Forsøg 1 |
Forsøg 2 |
Forsøg 3 |
|
Ka [-] |
14,7 |
16,7 |
14,6 |
Tabel 3 Karmans tal for de 3 forsøg.
Af Karmans tal for de 3 forsøg ses det, at Nikuradus’ ligning for strømning over ru flade er gældende for alle tre hastighedsprofiler, da Karmans tal i alle tilfælde er over 10.
Resultaterne af undersøgelsen, om at målingerne er foretaget over det viskose væglag, er angivet i Tabel 4, hvor tykkelsen af det viskose væglag i de 3 forsøg er angivet.
|
|
Forsøg 1 |
Forsøg 2 |
Forsøg 3 |
|
δ [m] |
0,001 |
0,001 |
0,001 |
Tabel 4 Tykkelsen af det viskose væglag i de 3 forsøg.
Af Tabel 4 ses det, at det viskose væglag i alle 3 forsøg er på 1 mm. Den ækvivalente sandruhed er beregnet til 5 mm, det vil sige, at målinger foretaget minimum 6 mm over undersiden af sandkornene kan anvendes i bestemmelsen af friktionshastigheden og den ækvivalente sandruhed. De målinger med laseren, som er udført nærmest bunden, er udført 15 mm over undersiden af sandkornene. Det betyder, at det viskose væglag ikke giver problemer ved anvendelsen af målingerne i Nikuradus’ ligning.
Nedenstående på Figur 5, Figur 6 og Figur 7 er de målte hastighedsprofiler afbilledet i forhold til de beregnede. Nulpunktet for y-akserne er korrigeret, så det stemmer overens med nulpunktet for ligning 3.
Figur 5 Beregnet og målt hastighedsprofil for forsøg 1.
Figur 6 Beregnet og målt hastighedsprofil for forsøg 2.
Figur 7 Beregnet og målt hastighedsprofil for forsøg 3.
Figur 5, Figur 6 og Figur 7 viser, at de målte hastigheder er beskrevet godt med Nikuradus’ ligning for strømning over ru flade til en højde på 0,12 m. Over den højde kan ligningen ikke anvendes, da påvirkningen på strømningshastigheden fra rendens sider bliver for stor.
Efter at have vist, at Nikuradus’ ligning for strømning over ru flade er gældende og beskriver hastighedsprofilet i de 3 forsøg godt, er forskydningsspændingen i de 3 forsøg beregnet med ligning 2. Resultaterne heraf ses af Tabel 5.
|
|
Forsøg 1 |
Forsøg 2 |
Forsøg 3 |
|
ρ [kg/m3] |
1000 |
1000 |
1000 |
|
Τ
[N/m2] |
0,17 |
0,24 |
0,17 |
Tabel 5 Forskydningsspænding i de 3 forsøg.
Resultaterne i Tabel 5 viser, at bundforskydningsspændingerne vokser med
stigende hastighed, hvilket er korrekt.
Fluktuationsmetoden
Bestemmelsen af forskydningsspændingen med fluktuationsmetoden er gennemført ved 2 forsøg med forskellige hastigheder. Forsøgene svarer til forsøg 2 og 3 i kraftbalancemetoden og friktionshastighedsmetoden. RMS-værdien målt 45 og 135 grader i forhold til strømningsretning er angivet i Tabel 6 i forhold til målehøjden. Herudover er den beregnede forskydningsspænding angivet i forhold til målehøjden.
|
Forsøg |
Middelhastighed [m/s] |
Densitet [kg/m3] |
Målehøjde [m] |
RMSz+x [m/s] |
RMSz-x [m/s] |
τ [N/m2] |
|
2 |
0,208 |
1000 |
0,015 |
0,0455 |
0,0011 |
-0,24 |
|
0,02 |
0,0401 |
0,00108 |
-0,13 |
|||
|
0,03 |
0,0292 |
0,00133 |
0,12 |
|||
|
0,04 |
0,0281 |
0,00141 |
0,16 |
|||
|
0,05 |
0,0261 |
0,00063 |
-0,01 |
|||
|
0,07 |
0,0214 |
0,00075 |
0,07 |
|||
|
0,10 |
0,0455 |
0,0011 |
-0,24 |
|||
|
3 |
0,201 |
1000 |
0,015 |
0,0378 |
0,0447 |
0,14 |
|
0,02 |
0,0342 |
0,0406 |
0,12 |
|||
|
0,03 |
0,0222 |
0,0268 |
0,06 |
|||
|
0,04 |
0,022 |
0,0325 |
0,14 |
|||
|
0,05 |
0,0228 |
0,0271 |
0,05 |
|||
|
0,07 |
0,0223 |
0,0265 |
0,05 |
|||
|
0,10 |
0,0194 |
0,0263 |
0,08 |
Tabel 6 Forskydningsspændinger beregnet med metode 3.
I Tabel 6 er den beregnede forskydningsspænding angivet i forhold til målehøjden. På Figur 8 og Figur 9 er forskydningsspænding for henholdsvis forsøg 2 og 3 plottet i forhold til målehøjden af RMS-værdien.
Figur 8
Beregnet forskydningsspænding i forhold til målehøjden af RMS-værdien samt
tendenslinje for forsøg 2.
Af forskydningsspændingerne på Figur 8 er der optegnet en tendenslinje. Tendenslinjen er
kun optegnet efter de positive forskydningsspændinger, da de negative er
urealistiske. Linjens skæring med x-aksen angiver forskydningsspændingen ved
bunden, som på Figur 8 er på 0,21 N/m2.
Figur 9 Beregnet
forskydningsspænding i forhold til målehøjden af RMS-værdien samt tendenslinje
for forsøg 3.
Ud fra forskydningsspændingerne er der på Figur 9
, som der også er på Figur 8
, optegnet en tendenslinje. Tendenslinjens skæring med x-aksen
angiver forskydningsspændingen ved bunden, som på Figur 9
er 0,22 N/m2.
Sammenfatning
Forskydningsspændingerne bestemt med de 3 metoder er sammenlignelige, da strømningshastighederne ikke er ændret i forhold til bestemmelsesmetoderne men i forhold til forsøgene. I Tabel 7 ses sammenligningen af forskydningsspændingerne.
|
|
Forsøg 1 [N/m2] |
Forsøg 2 [N/m2] |
Forsøg 3 [N/m2] |
|
Kraftbalancemetoden |
0,53 |
0,65 |
0,47 |
|
Friktionshastighedsmetoden |
0,17 |
0,24 |
0,17 |
|
Fluktuationsmetoden |
- |
0,21 |
0,22 |
|
Afv.min-max |
70 % |
68 % |
64 % |
Tabel 7 Sammenligning af forskydningsspændinger.
Det ses af Tabel 7, at forskydningsspændingerne bestemt med kraftbalancemetoden generelt er højere, end når de er bestemt med friktionshastighedsmetoden og fluktuationsmetoden. Afvigelsen mellem minimum og maksimum værdierne for forskydningsspændingerne er på henholdsvis 70, 68 og 64 % i de 3 forsøg.
Kraftbalancemetoden til bestemmelse af forskydningsspændingerne er den hurtigste at gennemføre, da den stort set kun kræver bestemmelse af energiliniens gradient. De to øvrige metoder kræver mere måle- og regnearbejde.
Ved benyttelse af kraftbalancemetoden i dette tilfælde, er det antaget, at strømningsrenden er i vatter. Hvis renden ikke er i vatter får det betydning for energiliniens gradient, hvormed forskydningsspændingen bliver forkert. En forklaring på, at forskydningsspændingen, bestemt med kraftbalancemetoden, afviger så meget fra de øvrige metoder, kan være, at renden ikke har været helt i vatter.
Af de 3 anvendte metoder til bestemmelsen forskydningsspændingen er det vurderet, at friktionshastighedsmetoden er den mest korrekte. Vurderingen er foretaget ud fra, at Nikuradus’ ligning for strømning over ru flade beskriver hastighedsprofilerne godt i alle tre forsøg med korrelationskoefficienter på henholdsvis 0,989, 0,985 og 0,990. Dermed må værdierne for den ækvivalente sandruhed og friktionshastighederne være korrekte, hvormed forskydningsspændingerne også bliver korrekte, da de er beregnet af friktionshastighederne. Friktionshastighederne er påvirket af både friktion med bunden og siderne i renden, derfor kan forskydningsspændingerne ikke ses som egentlige bundforskydningsspændinger.
En del af formålet med forsøgene er at bestemme den ækvivalente sandruhed for senere anvendelse i modelleringen af hastighedsprofilerne. De beregnede sandruheder er angivet i Tabel 8.
|
|
Forsøg 1 |
Forsøg 2 |
Forsøg 3 |
|
k [m] |
0,0049 |
0,0050 |
0,0051 |
Tabel 8 Beregnede ækvivalente sandruheder.
Af værdierne i Tabel 8 ses det, at der ikke er store afvigelser for bestemmelsen, hvilket indikerer, at sandruheden er godt bestemt.
Fluktuationsmetoden er vurderet til at være meget usikker, da korrelationen mellem de beregnede forskydningsspændinger og tendenslinjerne er meget dårlige. Korrelationen for forsøg 2 og 3 er på henholdsvis 0,75 og 0,51. Det betyder, at skæringen med x-aksen, som angiver forskydningsspændingen ved bunden, bliver meget usikkert bestemt. Igen kan forskydningsspændingerne ved bunden ikke ses om egentlige bundforskydningsspændinger, da forskydningsspændingerne, som tendenslinjerne er optegnet efter, er påvirket af både bunden og siderne i renden.
Der er gennemført en modellering af hastighedsprofilerne for forsøg 1 og 2 med DHI’s MIKE 3. I modelleringerne er den ækvivalente ruhed for bunden på trods af den forholdsvis sikre bestemmelse anvendt som kalibreringsfaktorer.
[ Tilbage] [Til toppen]