Bilag: Turbulensmodeller

Afsnittet bygger på [Brorsen, 2005].

Turbulent strømning

Turbulens består af fluktationer i strømningsfeltet i tid og sted opstår når inertikræfterne i væsken bliver vigtige sammenlignet med de viskose kræfter. En turbulent strømning kan beskrives som en tidsligt glattet middelstrømning omgivet af uregelmæssige fluktuationer, som forårsages af hvirvler. Et turbulent hastighedsfelt kan skrives som vist i ligning III.18.1.

Hastighedsfeltet i en turbulent strømning:

(III.18.1)



hvor
vi er hastighedsfeltet [m/s]
Ui er middelstrømningen [m/s]
ui er de turbulente fluktuationer [m/s]

Fluktuationerne i hastighederne bevirker en udveksling af vand mellem to lag i en lagdelt strømning, og dermed udveksling af bevægelsesmængden. Virkningen af dette kan beregnes ved at påføre middelstrømningen en forskydningsspænding. I turbulente strømninger er der viskose og turbulente forskydnings- spændinger. De turbulente forskydningsspændinger kaldes også for Reynolds-spændinger og en turbulent strømning er kendetegnet ved at have et højt Reynolds tal.

Navier-Stokes ligninger gælder for både laminære og turbulente strømninger. Ligningerne kan dog ikke bruges direkte hverken analytisk eller numerisk til at løse en turbulent modellering pga. de mange nødvendige beregningspunkter, som normalt overstiger computernes regnekapacitet. Løsningen er derfor at beskrive middelstrømningen ved Navier-Stokes ligninger, som vist ved ligning III.18.2. Virkningen af de mange hvirvler beskrives på anden vis ved hjælp af turbulens modeller.

Navier-Stokes ligning for turbulent strømning:

(III.18.2)



hvor
ρ er densitet [kg/m3]
p+ er afvigelsen fra det hydrostatiske tryk [N/m2]
μ er dynamisk viskositet [N*s/m2]

Turbulens modeller angiver en relation mellem middelstrømningen og Reynolds-spændingerne, også kaldet for forskydnings spændingerne, som vist i ligning III.18.3.

Reynolds-spændingerne:

(III.18.3)



hvor
τjiturb er Reynolds-spændinger [m2/s2]
νT er hvirvelviskositet [N*s/m2]

Turbulensmodellerne angiver hvordan νT skal beregnes.

I det følgende beskrives to forskelige turbulensmodeller som anvendes i delprojektet.

k-Epsilon turbulens model

I k-Epsilon modellen beskrives hvirvelviskositeten som vist i ligning III.18.4.

Hvirvelviskositet:

(III.18.4)



hvor
k er den turbulente kinetiske energi [m2/s2]
ε er den turbulente hvirvelspredning [m2/s3]
Cμ er den turbulente hvirvelspredning på 0,09 [-]

k er udtryk for den kinetiske energi, som dannes ved turbulens og defineres som variationen af fluktuationer i hastighederne. Epsilon er et udtryk for raten hvorved hastighedsfluktuationerne spredes. Da k og Epsilon kan beregnes ved to transportligninger om massebevarelse, omtales k-Epsilon modellen som en 2-lignings turbulens model. Transportligningerne for k og Epsilon er vist ved ligning III.18.5 og III.18.6.

Transportlingninger i k-Epsilon modellen:

(III.18.5)



(III.18.6)



hvor
σk og σε er konstanter, der er indført for at give mulighed for at kompensere for fejl, og er på hhv. 1,0 og 1,3 [-].
C1 og C2 er konstanter på hhv. 1,44 og 1,92 [-]

De fem konstanter, som er angivet i ligning III.18.4 til III.18.6 er kalibreret efter, at ændringer i middelhastigheden foregår meget langsommere end ændringerne i de turbulente fluktuationer.

Smagorinsky turbulens model

Baggrunden for dette teoriafsnit er baseret på manualerne fra henholdsvis MIKE3 og CFX, [MIKE3, 2005], [Ansys CFX, 2005].

Andrei Kolmogorov kom i 1941 med en hypotese om, at i en strømmende væske, hvor der opstår store hvirvler vil der efterfølgende generes mindre efterfølgende hvirvler. Det sker ud fra en energibetragtning, hvor store hvirvler får energi fra strømningen. Denne energi anvendes til at skabe selve hvirvlen og den overskydende energi anvendes til at genere mindre og mindre hvirvler osv. indtil energien er opbrugt og forsvinder som varmetab. Dette er forsøgt illustreret på figur III.18.1, hvor energien er optegnet som en funktion af den reciprokke længde af hvirvlerne.

Figur III.18.1: Energien for hvirvler optegnet som en funktion af den reciprokke længde. Den grønne linie symboliserer gridstørrelsen, hvor det der ligger til venstre er store hvirvler.


Til beregningen af turbulente strømninger er der opstillet forskellige modeltyper og beregningsformler og i 1963 kom yderlig en løsning på denne problematik. Det var en meteorologprofessor ved navn Joseph Smagorinsky. Han havde en løsningtil, at medtage de mindre hvirvler, der normalt ville blive forkastet. Smagorinsky modellen er en af de mest anvendte turbulensmodeller når der regnes på turbulente strømninger. Dette skyldes at den er forholdsvis simpel og hovedsageligt kun anvender lokale ændringer til, at beregne forskydningen i væskerne. Dette gøres, når hvirvlerne er mindre end cellestørrelsen, også kaldet en subgrid scale model (SGS). Modellen anvender formlen for Renolds spændinger til beregning af de små hvirvler. Ellers benytter den Navier-Stokes ligningerne. Hvirvelviskositeten beregnes som vist i formel III.18.7:

Ligningen for hvirvelviskositeten i turbulente strømninger, ved hvirvler mindre end gridstørrelsen:

(III.18.7)



hvor
νSGS er viskositet for subgrid scale [m2/s]
Cs er smagorinsky konstanten [-]
l er hvirvellængden[m]
eij er deformationshastighedstensoren [s-1]
i og j er de respektive retninger

Deformationshastighedstensoren beskriver ændringerne af hastighederne over små stedslige ændringer, hvilket fremgår af formel III.18.8:

Den generelle formel for deformationshastighedstensoren:

(III.18.8)



hvor
U er middelhastigheden i det pågældende punkt [m/s]

Til beregningen af forskydningerne der sker i væsken indgår den hvirvelviskositet fundet i formel III.18.7, hvilket anvendes i formel III.18.9.

Beregningen for forskydningsspændingen i Smagorinsky modellen:

(III.18.9)



hvor
τ er forskydningsspændingen [m2/s2]

Smagorinsky konstanten er ikke en fastlagt konstant, da den i de forskellige programmer har et interval som den normalt ligger inden for, hvilket gør det muligt at kalibrerer modellerne. I projektet er der anvendt MIKE3 og CFX, hvor Cs i CFX ligger mellem 0,065 til 0,25; her anvender programmet 0,1 hvis brugeren ikke oplyser andet. Da MIKE3 kører med rektangulærtgrid i beregningerne, kan der være forskel på længden af cellerne i henholdsvis horisontal og vertikal retning. Af denne grund er det muligt, at køre en beregning med forskellige Cs i de respektive retninger. De værdier der anbefales for Cs ligger mellem 0,02 til 0,5, hvor programmet som standard anvender 0,088 i horisontal retning og 0,176 i vertikal retning.

[ Til toppen ]
[ Forrige | Næste ]